신호의 페이저 합

만약, 주파수가 같고 위상만 다른 신호들이 있다면, 이들의 합은 놀랍게도 같은 주파수와 다른 위상 값만 가지는 하나의 코사인 함수로 표현할 수 있다. 즉, 다음과 같이 정리할 수 있다.

$\sum_{k = 1}^{N}A_{k}cos(w_{0}t + \phi_{k}) = A \cos{(w_{0}t + \phi)}$

전통적인 삼각 함수의 공식을 사용하여 이것을 증명하면 다음과 같다. 먼저, 코사인의 합은 다음과 같이 전개할 수 있다.

$A_{k} \cos{(w_{0}t + \phi)} = A_{k} \cos{w_{0}t} \cos{\phi_k} - A_{k} \sin{w_{0}t} \sin{\phi_{k}}$

이 정리를 사용하여 각 코사인 신호의 합을 전개하면 다음과 같다. 그리고 각 항의 공통 인자를 빼내어 묶으면, 우측의 식과 직접적으로 비교할 수 있게 된다.

$A_{1}(\cos{w_{0}t} \cos{\phi_{1}} - \sin{w_{0}t} \sin{ \phi_{1}}) +$ $A_{2}(\cos{w_{0}t} \cos{\phi_{2}} - \sin{w_{0}t} \sin{ \phi_{2}}) + \dots$

$= A \cos{(w_{0}t + \phi)},$

$A \cos{(w_{0}t + \phi)} = A \cos{w_{0}t} \cos{\phi} - A \sin{w_{0}t} \sin{\phi}$

$\therefore \; \cos{w_{0}t}(A_{1} \cos{\phi_{1}} + A_{2} \cos{\phi_{2}}) - \sin{w_{0}t}(A_{1} \sin{\phi_{1}} + A_{2} \sin{\phi_{2}})$

$= A \cos{w_{0}t} \cos{\phi} - A \sin{w_{0}t} \sin{\phi}$

$\therefore \; \cos{w_{0}t}(A \cos{\phi}) = \cos{w_{0}t}(A_{1} \cos{\phi_{1}} + A_{2} \cos{\phi_{2}})$

$\sin{w_{0}t}(A \sin{\phi}) = \sin{w_{0}t}(A_{1} \sin{\phi_{1}} + A_{2} \sin{\phi_{2}})$

$A^2(\cos^2{\phi} + \sin^2{\phi}) = (A_{1} \cos{\phi_{1}} + A_{2} \cos{\phi_{2}})^2 + (A_{1} \sin{\phi_{1}} + A_{2} \sin{\phi_{2}})^2,$

$\therefore \; A^2 = (A_{1} \cos{\phi_{1}} + A_{2} \cos{\phi_{2}})^2 + (A_{1} \sin{\phi_{1}} + A_{2} \sin{\phi_{2}})^2,$

$\phi = \tan^{-1}{\frac{(A_{1} \cos{\phi_{1}} + A_{2} \cos{\phi_{2}})}{(A_{1} \sin{\phi_{1}} + A_{2} \sin{\phi_{2}})}}$

그러나, 이와 같은 방법으로 코사인 신호의 합을 나타내는 것은 너무 복잡하다. 따라서, 좀 더 간단한 표현이 필요한데, 복소 지수 표현을 사용하면 좀 더 간단하게 이것을 증명할 수 있다. 즉, 어떤 정현파도 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$A \cos{(w_{0}t + \phi)} = Re(Ae^{i(w_{0}t+ \phi)}) = Re(Ae^{i \phi}e^{iw_{0}t})$

이것을 사용하여 코사인 신호의 합을 다시 정리하면,

$\sum_{k=1}^{N}A_{k} \cos{(w_{0}t + \phi_{k})} = \sum_{k=1}^{N}Re \big(A_{k}e^{i(w_{0}t + \phi_{k})} \big)$

$= Re \big(\sum_{k=1}^{N}A_{k}e^{i \phi_{k}}e^{iw_{0}t} \big)$ $= Re \big( (\sum_{k=1}^{N}A_{k}e^{i \phi_{k}})e^{iw_{0}t} \big)$

$= Re \big((A_{k}e^{i \phi_{k}})e^{iw_{0}t} \big)$ $= Re(Ae^{i(w_{0}t + \phi)}) = A \cos{(w_{0}t + \phi)}$

$\because \; \sum_{k=1}^{N}A_{k}e^{i \phi_{k}} = Ae^{i \phi}$

이와 같이 간단하게 증명할 수 있다. 복소 지수의 몇 가지 성질을 이용하면 어떤 코사인 신호라도 쉽게 합, 곱을 이와 같이 나타낼 수 있으며, 간단하게 신호의 스펙트럼을 분석할 수 있게 된다.

Reference
James H. McClenna, Ronald W. Schafer, Mark A. Yoder, Signal Processing First, Pearson Education, Inc, 2003
김인택, 김우식, 한승수, 서덕영 공역, Hello! 신호처리, 홍릉과학출판사, 2005

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