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비유클리드 기하학의 발견 이외에 공리적 방법의 발달과 이에 따라 많은 현대적인 수학 연구의 성격에 대단한 영향을 끼친 또 다른 요인이 있었다. 그 요인은 19세기 전반기에 영국의 수학자들이 처음으로 알아낸 대수학에 구조가 존재한다는 인식이었다.
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19세기 초까지도, 산술의 통상적인 대수학과 다른 어떤 대수학이 존재할 수 있다고 상상할 수 없었다. 보기를 들면, 곱셈에 관한 교환 법칙이 성립하지 않는 무모순인 대수학의 구성을 그 당시의 어느 누구도 생각하지 못했다. 그런 일이 벌어졌다면, 그것은 완전히 어리석은 생각으로 파기되었을 것이 확실하다.
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대수학에 관한 현대적인 관점은 1830년경에 영국에서 피콕(George Peacock, 1791 - 1858)의 연구와 함께 최초로 어렴풋이 나타나기 시작했다. 피콕은 대수학의 기본적인 원리를 최초로 진지하게 연구한 사람 중 한 명이었다. 그는 자신이 '산술적 대수학'과 '상징적 대수학'이라 부른 두 분야 사이의 차이점을 명백히 했다.
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Quotes from
Howard Eves, Foundations and Fundmental Concepts of Mathmematics
보통, 대수학이라고 하면 사칙연산에서의 연산 구조나 어떤 수를 기호로 대신하는 정도로만 인식한다. 이런 관점에서 대수학이란, 그저 특정수와 연산을 기호로 대신하는 정도의 의미 밖에 지니지 못한다. 실제로 이 관점은 현대의 중등 수학 교육에서 바라보는 대수학의 관점이다. 그러나, 어떤 체계에서의 이런 연산들이 산술적인 의미로만 제한되는 것이 아니라, 점차 그 형식적인 적합성이 더 중요하다는 사실을 깨닫게 되면서, 현대 대수학은 혁명적인 변화를 맞이하게 된다.
예를 들어, 아라비아 숫자 1, 2, 3, 4, ....은 이미 익히 잘 알려진, 수를 나타내는 체계이며, 여기서의 덧셈과 곱셈은 이 집합에 대해 닫혀 있다. 그렇다면, 덧셈과 곱셈은 아라비아 숫자라는 체계에 대해서만 적용되는 것인가? 그렇지 않다. 로마 숫자라고 하더라도 이 연산들의 형식적인 정의는 그대로 적용될 수 있다. 또, 어떤 집합이 대수적인 구조를 가지기 위해서, 흔히 알려진 덧셈, 곱셈, 연산 규칙에 대한 모든 규칙을 반드시 만족할 필요도 없다. 예를 들어 행렬은 곱셈에 대한 교환 법칙이 성립하지 않지만, 행렬을 대수학이 아니라고 말하지 않는다. 이런 깨달음은 무모순성을 가지는 여러 대수 구조의 출현으로 이어진다.
사실, 행렬이라는 개념이 등장하기 전까지, 3차원 공간에서 벡터의 회전을 좀 더 간단하게 다루기 위해 해밀턴(William Rowan Hamilton, 1805 - 1865)은 사원수(quternion)라는 개념을 도입했는데, 이것은 복소수 개념을 기반으로 한다. 이 생각의 핵심은 어떤 새로운 체계가 무모순성을 지니기 위해서는, 반드시 기존에 알려졌던 '연산 규칙'들을 전통적인 생각대로 만족할 필요가 없다는 것이다. 특히, 이 체계에 대해 15년이나 숙고한 끝에 곱셈에 관한 교환 법칙을 반드시 만족할 필요가 없다는 사실을 깨달은 해밀턴은, 깜짝 놀라서 더블린 근처의 다리에 이를 새겨놓았다고 한다. ijk = -1이라는 것을 볼 수 있는데, 이것은 케일리(Carley) 테이블을 형성할 수 있다.
해밀턴이 비록 완전히 대수 구조의 형식성을 설명하지 못했더라도, 이 깨달음은 후대에 훌륭한 발돋움이 되었다. 또, 사원수라는 개념도 벡터 공간에 의해 보다 간단하게 설명되면서 그 효용성은 점차 퇴색했지만, 이 발상의 가치에 대해서는 의문의 여지가 없다. 해밀턴이 고안한 사원수는 그 자체로 무모순인 대수 체계를 구축하는데 성공한, 주목할만한 초기의 사례이기 때문이다.
그렇다면, 대수 구조라는 것은 무엇이며, 가장 간단한 대수 구조를 만족하는 정의는 무엇이냐는 의문이 자연스럽게 나온다. 군(group)은 가장 간단한 대수 구조 중 하나이며, 다음과 같이 정의된다. 원소의 집합 G가 G의 이항 연산 *에 대해 다음 세 가지 공준(postulate, axioms)을 만족할 때 G를 군(group)이라 한다. 특히, 연산이란 이런 관점에서 볼 때, 순서를 가진 어떤 집합 S에서의 원소 a를 원소 b에 대응시키는 함수라고 할 수 있다.
def.
1. associativity(결합 법칙), G의 모든 원소 a, b, c에 대해 a * (b * c) = (a * b) * c이다.
2. existence of identity element(항등원의 존재성), G의 모든 원소 a에 대해 a * i = a를 만족하는 G의 원소 i가 존재한다.
3. existence of inverse element(역원의 존재성), G의 각 원소에 대해 a * a inv. = i를 만족하는 G의 원소 a inv.가 존재한다.
특히, 위의 세 가지 공준에 다음 공준을 만족하면 그 군을 가환군(commutative group), 또는 아벨군(abelian group)이라 한다.
def.
4. commutative group, G의 모든 원소 a와 b에 대해 a * b = b * a이다.
군의 정의는, 대수 구조는 산술적인 치환보다 형식적인 적합성이 더 중요하다는 것을 알려준다. 군은 현대 대수학을 이해하기 위한 가장 중요한 개념이다. 많은 대수적 체계는 그 체계의 하나 또는 그 이상의 이항 연산에 대해 군을 형성하기 때문이다. 즉, 많은 대수 구조는 하부 구조로서 군, 또는 반군(semigroup, subgroup)을 포함하고 있다.
Reference
John R. Durbin, Modern Algrbra An Introduction, John Wiley & Sons, Inc. 2000
Howard Eves, Foundations and Fundmental Concepts of Mathmematics, 1990
허 민, 오혜영(번역), 수학의 기초와 기본 개념, 경문사, 1995
