벡터공간 V에서 정의된 벡터덧셈과 스칼라곱의 연산에 관하여 그 자체로서 벡터공간을 이루는 V의 부분집합에는 특별한 명칭이 주어진다. 즉,
def.
벡터공간 V의 부분집합 W가 V에서 정의된 덧셈과 스칼라곱에 관하여 그 자체로서 벡터공간을 이룰 때 W를 V의 부분공간(subspace)이라 한다.
일반적으로, 덧셈과 스칼라곱을 만족하는 집합 W가 벡터공간을 이룬다는 것을 확인하기 증명하기 위해서는 벡터공간의 열 가지 공리가 만족됨을 밝혀야 한다. 그러나, 만약 W가 이미 벡터공간이라고 알려진 집합 V의 부분집합이면 몇 가지 공리는 V에서 상속되기 떄문에 W에 대해서 이를 증명할 필요가 없다. 예를 들어, u + v = v + u는 V의 모든 벡터에 대해서 성립함으로, 당연히 W의 모든 벡터에 대해서 성립하는 까닭에 W에 대해서 이 공리를 증명하지 않아도 된다. 즉, W가 벡터공간 V의 부분집합임을 밝히기 위해서는 다음 정리를 만족해야 한다.
theorem
벡터 공간 V의 공집합이 아닌 부분집합 W가 V의 부분공간이 되기 위한 필요충분조건은, 다음 a, b를 만족하는 것이다.
a. u, v가 W의 벡터이면 u + v도 W의 벡터이다.
b. k가 임의의 스칼라이고, u가 W의 벡터이면 ku도 W도 벡터이다.
벡터공간 V의 공집합이 아닌 부분집합 W는 a를 만족할 때 합에 관하여 닫혀 있다(closed under addition)라 하고, b를 만족한다면 스칼라곱에 관하여 닫혀 있다(closed under scalar multiplication)라고 한다. 따라서, 위의 정리는 W가 V의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 W가 합과 스칼라곱에 관하여 닫혀 있는 것임을 뜻한다.
그렇다면, 부분공간을 생성하기 위해서는 어떤 과정이 필요한가? 먼저, v1, v2, v3, ...., vr이 벡터공간 V의 벡터일 때 일반적으로 V의 어떤 벡터는 v1, v2, ...., vr의 1차 결합일 수도 있고, 다른 어떤 벡터는 이들 벡터의 1차 결합이 아닐 수도 있다. 다음 정리는 어떤 v1, v2, v3, ...., vr의 1차 결합으로써 표현될 수 있는 모든 벡터로 이루어진 집합 W를 구성하면 W는 V의 부분공간을 이룸을 설명한다.
theorem
a. v1, v2, v3, ...., vr의 모든 1차 결합의 집합 W는 V의 부분공간이다.
b. W는 v1, v2, v3, ...., vr을 포함하는 V의 최소의 부분공간이다. 즉 v1, v2, v3, ...., vr을 포함하는 다른 모든 부분공간은 W를 포함한다.
여기서, a를 증명하는 것은 자명하다. u와 v가 선형방정식으로 표현된다면 그들의 합 또한 선형방정식으로 표현되기 때문이다. 그러면 b의 경우는 어떠한가? 모든 벡터 vr은
vr = 0 * v1 + 0 * v2 + .... + 1vi + .... + 0vr
로 쓸 수 있으므로, 각 vi 또한 v1, v2, v3, ...., vr의 1차 결합이다. 따라서, 부분공간 W는 각 벡터 v1, v2, v3, ...., vr을 포함한다. W＇을 v1, v2, v3, ...., vr을 포함하는 임의의 다른 부분공간이라 하면, W＇은 합과 스칼라곱에 관하여 닫혀 있기 때문에 W＇은 v1, v2, v3, ...., vr의 모든 1차 결합을 포함해야 한다. 따라서, W＇은 W의 각 벡터를 포함한다. 따라서, 다음 정의를 얻을 수 있다.
def. S = { v1, v2, v3, ...., vr }이 벡터공간 V에 속하는 벡터의 집할일 때 S에 속하는 벡터의 모든 1차 결합으로 이루어진 V의 부분공간 W를 v1, v2, v3, ...., vr이 생성하는 공간(space spanned by)이라 하고, 벡터 v1, v2, ...., vr은 W를 생성한다. W가 집합 S = { v1, v2, ...., vr }의 벡터가 생성하는 공간이라는 것을
W = span(S), 또는 W = spand{ v1, v2, ...., vr }
로 표기한다.
예를 들어보자. v1과 v2가 시초점을 원점으로 가지는 동일 직선상에 있지 않은 R^3의 벡터라 하면, 모든 1차 결합 k1 * v1 + k2 * v2로서 이루어진 span{ v1, v2 }는 v1과 v2가 만드는 평면이다. 같은 방법으로, v가 R^2 또는 R^3의 영이 아닌 벡터이면 모든 스칼라곱 kv의 집합인 span{ v }는 v가 만드는 직선이다.
Reference
Howard Anton, Elementary Linear Algebra 9th Edition, Pearson Education
def.
벡터공간 V의 부분집합 W가 V에서 정의된 덧셈과 스칼라곱에 관하여 그 자체로서 벡터공간을 이룰 때 W를 V의 부분공간(subspace)이라 한다.
일반적으로, 덧셈과 스칼라곱을 만족하는 집합 W가 벡터공간을 이룬다는 것을 확인하기 증명하기 위해서는 벡터공간의 열 가지 공리가 만족됨을 밝혀야 한다. 그러나, 만약 W가 이미 벡터공간이라고 알려진 집합 V의 부분집합이면 몇 가지 공리는 V에서 상속되기 떄문에 W에 대해서 이를 증명할 필요가 없다. 예를 들어, u + v = v + u는 V의 모든 벡터에 대해서 성립함으로, 당연히 W의 모든 벡터에 대해서 성립하는 까닭에 W에 대해서 이 공리를 증명하지 않아도 된다. 즉, W가 벡터공간 V의 부분집합임을 밝히기 위해서는 다음 정리를 만족해야 한다.
theorem
벡터 공간 V의 공집합이 아닌 부분집합 W가 V의 부분공간이 되기 위한 필요충분조건은, 다음 a, b를 만족하는 것이다.
a. u, v가 W의 벡터이면 u + v도 W의 벡터이다.
b. k가 임의의 스칼라이고, u가 W의 벡터이면 ku도 W도 벡터이다.
벡터공간 V의 공집합이 아닌 부분집합 W는 a를 만족할 때 합에 관하여 닫혀 있다(closed under addition)라 하고, b를 만족한다면 스칼라곱에 관하여 닫혀 있다(closed under scalar multiplication)라고 한다. 따라서, 위의 정리는 W가 V의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 W가 합과 스칼라곱에 관하여 닫혀 있는 것임을 뜻한다.
그렇다면, 부분공간을 생성하기 위해서는 어떤 과정이 필요한가? 먼저, v1, v2, v3, ...., vr이 벡터공간 V의 벡터일 때 일반적으로 V의 어떤 벡터는 v1, v2, ...., vr의 1차 결합일 수도 있고, 다른 어떤 벡터는 이들 벡터의 1차 결합이 아닐 수도 있다. 다음 정리는 어떤 v1, v2, v3, ...., vr의 1차 결합으로써 표현될 수 있는 모든 벡터로 이루어진 집합 W를 구성하면 W는 V의 부분공간을 이룸을 설명한다.
theorem
a. v1, v2, v3, ...., vr의 모든 1차 결합의 집합 W는 V의 부분공간이다.
b. W는 v1, v2, v3, ...., vr을 포함하는 V의 최소의 부분공간이다. 즉 v1, v2, v3, ...., vr을 포함하는 다른 모든 부분공간은 W를 포함한다.
여기서, a를 증명하는 것은 자명하다. u와 v가 선형방정식으로 표현된다면 그들의 합 또한 선형방정식으로 표현되기 때문이다. 그러면 b의 경우는 어떠한가? 모든 벡터 vr은
vr = 0 * v1 + 0 * v2 + .... + 1vi + .... + 0vr
로 쓸 수 있으므로, 각 vi 또한 v1, v2, v3, ...., vr의 1차 결합이다. 따라서, 부분공간 W는 각 벡터 v1, v2, v3, ...., vr을 포함한다. W＇을 v1, v2, v3, ...., vr을 포함하는 임의의 다른 부분공간이라 하면, W＇은 합과 스칼라곱에 관하여 닫혀 있기 때문에 W＇은 v1, v2, v3, ...., vr의 모든 1차 결합을 포함해야 한다. 따라서, W＇은 W의 각 벡터를 포함한다. 따라서, 다음 정의를 얻을 수 있다.
def. S = { v1, v2, v3, ...., vr }이 벡터공간 V에 속하는 벡터의 집할일 때 S에 속하는 벡터의 모든 1차 결합으로 이루어진 V의 부분공간 W를 v1, v2, v3, ...., vr이 생성하는 공간(space spanned by)이라 하고, 벡터 v1, v2, ...., vr은 W를 생성한다. W가 집합 S = { v1, v2, ...., vr }의 벡터가 생성하는 공간이라는 것을
W = span(S), 또는 W = spand{ v1, v2, ...., vr }
로 표기한다.
예를 들어보자. v1과 v2가 시초점을 원점으로 가지는 동일 직선상에 있지 않은 R^3의 벡터라 하면, 모든 1차 결합 k1 * v1 + k2 * v2로서 이루어진 span{ v1, v2 }는 v1과 v2가 만드는 평면이다. 같은 방법으로, v가 R^2 또는 R^3의 영이 아닌 벡터이면 모든 스칼라곱 kv의 집합인 span{ v }는 v가 만드는 직선이다.
Reference
Howard Anton, Elementary Linear Algebra 9th Edition, Pearson Education
