평면해석 기하학에서는 평면의 한 점을 한 쌍의 수직 좌표축 위로 사영시킴으로서 어떤 좌표를 점 P에 대응시킬 수 있다. 여기서, 평면의 각 점은 유일한 좌표 집합으로 대응되고, 이것의 역도 성립한다. 즉, 이들은 one to one 관계(1 : 1 대응 관계)가 성립한다. 좌표축으로는 수직 좌표축(카르테시안 좌표계)이 가장 일반적인 경우지만, 점차 좌표축이 반드시 수직일 필요가 없다는 점을 깨닫기 시작했다. 즉, 어떤 조건을 만족한다면 수직 관계가 아닌, 임의의 나란한 두 직선도 평면의 좌표계를 결정하는데 쓰일 수 있으며, 이들 직선은 벡터를 사용하여 나타낼 수도 있다.
즉, 궁극적으로는 좌표계를 벡터공간을 사용하여 표시할 수 있다. 예를 들어, 평면 상에서 어떤 좌표가 주어졌을 때, 이것은 좌표축의 단위 벡터를 사용하여 선형 결합으로 이 좌표를 표시할 수 있으며, 단위 벡터의 길이가 반드시 1이라고 명시될 필요도 없다. 즉, 어떤 점은 두 벡터의 스칼라곱의 합으로 표현될 수 있고, 이 두 벡터로서 그 평면의 모든 좌표를 표시할 수 있다면 이것은 좌표축으로서의 조건을 만족한 셈이 된다. 비형식적으로, 이러한 벡터를 '기본벡터(basis vector)'라 한다. 여기서 중요한 것은 이들이 벡터이기 때문에 자유롭게 성분을 결정할 수 있다는 것이고, 그것이 주어진 조건을 만족하기만 하면 어떠한 좌표계도 생성할 수 있다는 점이다. 이를 일반 벡터공간으로 확장해보면, 그 조건은 다음과 같다.
def.
V가 임의의 벡터공간이고 S = { v1, v2, v3, ...., vn }이 V의 벡터집합일 때 S가 다음 두 조건을 만족하면 S를 V의 기저(basis)라고 한다.
a. S는 선형 독립이다.
b. S는 V를 생성한다. (즉, V의 모든 벡터 성분은 S의 원소의 스칼라곱의 선형 결합으로 나타낼 수 있다)
여기서, 선형 독립이라는 말은 무엇인가? 만약, 벡터 공간 V의 어떤 벡터를 표현한다고 했을 때, 그 벡터를 선형결합으로 표현하는 데 한 가지 이상의 방법이 있을 수 있다. 따라서, V의 각 벡터가 반드시 한 가지 방법으로 표현되도록 제한하는 것은 유용한 개념이 된다. 다음 정의를 보면,
def. S = { v1, v2, v3, .... vn }을 공집합이 아닌 벡터 집합이라고 하면, 이 경우 벡터 방정식
k1 * v1 + k2 * v2 + ...., + kn * vn = 0
은 적어도 하나의 해, 즉
k1 = , k2 = 0, k3 = 0, ..., kn = 0
을 갖는다. 만일 이것이 유일한 해라면 S를 선형독립(linearly independent)이라 하고, 다른 해도 가진다면 선형종속(linearly dependent) 집합이라 한다.
여기서 선형종속이라는 말은, 선형종속인 벡터는 서로 어떤 방법으로든 '연관'되어 있다는 것을 의미한다. 즉, 0 이외의 특정한 해에 대해 연관되어 있다. 다음 정리는 그것을 설명한다.
theorem
두 개 이상의 벡터를 갖는 집합 S가
a. 선형종속이기 위한 필요충분 조건은, S에 속하는 적어도 하나의 벡터가 S에 속하는 다른 벡터의 선형결합으로 표현될 수 있어야 한다.
b. S에 속하는 어떤 벡터가 S의 다른 벡터의 선형결합으로 표현될 수 없다면, 이것은 선형독립이기 위한 필요충분 조건이다.
기하학적인 해석 관점에서 선형독립을 살펴보면, 이것은 이들 벡터가 한 점에서만 만난다는 뜻이며, 위의 좌표축과 연관지어 생각해보면, 어떤 벡터 집합이 기저가 되기 위해서는 당연히 필요한 조건이다. 또, 주어진 벡터 공간이 기저로서 주어진 벡터 집합의 스칼라곱의 선형 결합에 대해 닫혀 있어야 주어진 벡터 공간을 모두 표현할 수 있다. 이것은 다음 정리로 표현할 수 있다.
theorem
S = { v1, v2, v3, ...., vn }이 벡터공간 V의 기저라면, V에 속하는 모든 벡터는 v = c1 * v1 + c2 * v2 + ...., + cn * vn인 형식으로 유일하게 표현된다.
마지막으로, 부분공간 span(S)의 기저는 어떠한가? S = { v1, v2, ...., vn }이 벡터공간 V의 선형독립이면, 당연히 span(S)의 정의에 의해 집합 S는 span(S)를 생성하므로(span(S)의 모든 벡터는 S의 원소의 스칼라곱의 선형결합으로 표현된다), span(S)의 기저가 된다.
Reference
Howard Anton, Elementarry Algebra 9th Edition, Pearson Education
즉, 궁극적으로는 좌표계를 벡터공간을 사용하여 표시할 수 있다. 예를 들어, 평면 상에서 어떤 좌표가 주어졌을 때, 이것은 좌표축의 단위 벡터를 사용하여 선형 결합으로 이 좌표를 표시할 수 있으며, 단위 벡터의 길이가 반드시 1이라고 명시될 필요도 없다. 즉, 어떤 점은 두 벡터의 스칼라곱의 합으로 표현될 수 있고, 이 두 벡터로서 그 평면의 모든 좌표를 표시할 수 있다면 이것은 좌표축으로서의 조건을 만족한 셈이 된다. 비형식적으로, 이러한 벡터를 '기본벡터(basis vector)'라 한다. 여기서 중요한 것은 이들이 벡터이기 때문에 자유롭게 성분을 결정할 수 있다는 것이고, 그것이 주어진 조건을 만족하기만 하면 어떠한 좌표계도 생성할 수 있다는 점이다. 이를 일반 벡터공간으로 확장해보면, 그 조건은 다음과 같다.
def.
V가 임의의 벡터공간이고 S = { v1, v2, v3, ...., vn }이 V의 벡터집합일 때 S가 다음 두 조건을 만족하면 S를 V의 기저(basis)라고 한다.
a. S는 선형 독립이다.
b. S는 V를 생성한다. (즉, V의 모든 벡터 성분은 S의 원소의 스칼라곱의 선형 결합으로 나타낼 수 있다)
여기서, 선형 독립이라는 말은 무엇인가? 만약, 벡터 공간 V의 어떤 벡터를 표현한다고 했을 때, 그 벡터를 선형결합으로 표현하는 데 한 가지 이상의 방법이 있을 수 있다. 따라서, V의 각 벡터가 반드시 한 가지 방법으로 표현되도록 제한하는 것은 유용한 개념이 된다. 다음 정의를 보면,
def. S = { v1, v2, v3, .... vn }을 공집합이 아닌 벡터 집합이라고 하면, 이 경우 벡터 방정식
k1 * v1 + k2 * v2 + ...., + kn * vn = 0
은 적어도 하나의 해, 즉
k1 = , k2 = 0, k3 = 0, ..., kn = 0
을 갖는다. 만일 이것이 유일한 해라면 S를 선형독립(linearly independent)이라 하고, 다른 해도 가진다면 선형종속(linearly dependent) 집합이라 한다.
여기서 선형종속이라는 말은, 선형종속인 벡터는 서로 어떤 방법으로든 '연관'되어 있다는 것을 의미한다. 즉, 0 이외의 특정한 해에 대해 연관되어 있다. 다음 정리는 그것을 설명한다.
theorem
두 개 이상의 벡터를 갖는 집합 S가
a. 선형종속이기 위한 필요충분 조건은, S에 속하는 적어도 하나의 벡터가 S에 속하는 다른 벡터의 선형결합으로 표현될 수 있어야 한다.
b. S에 속하는 어떤 벡터가 S의 다른 벡터의 선형결합으로 표현될 수 없다면, 이것은 선형독립이기 위한 필요충분 조건이다.
기하학적인 해석 관점에서 선형독립을 살펴보면, 이것은 이들 벡터가 한 점에서만 만난다는 뜻이며, 위의 좌표축과 연관지어 생각해보면, 어떤 벡터 집합이 기저가 되기 위해서는 당연히 필요한 조건이다. 또, 주어진 벡터 공간이 기저로서 주어진 벡터 집합의 스칼라곱의 선형 결합에 대해 닫혀 있어야 주어진 벡터 공간을 모두 표현할 수 있다. 이것은 다음 정리로 표현할 수 있다.
theorem
S = { v1, v2, v3, ...., vn }이 벡터공간 V의 기저라면, V에 속하는 모든 벡터는 v = c1 * v1 + c2 * v2 + ...., + cn * vn인 형식으로 유일하게 표현된다.
마지막으로, 부분공간 span(S)의 기저는 어떠한가? S = { v1, v2, ...., vn }이 벡터공간 V의 선형독립이면, 당연히 span(S)의 정의에 의해 집합 S는 span(S)를 생성하므로(span(S)의 모든 벡터는 S의 원소의 스칼라곱의 선형결합으로 표현된다), span(S)의 기저가 된다.
Reference
Howard Anton, Elementarry Algebra 9th Edition, Pearson Education
