Finding Inverse of Matrix

행렬의 역행렬의 존재 여부를 알기 위해서는, 먼저 단위행렬(identity matrix)을 정의해야 한다. 단위행렬이란 주 대각선 위의 성분(entry)만 1이고, 이외의 성분은 모두 0인 행렬을 의미한다. 특히, 크기를 강조할 필요가 있는 경우에는 n × n 단위행렬을 I(n)으로 쓴다. 이 단위행렬에서 한 번의 기본 행연산으로 얻어지는 n × n 행렬을 기본행렬(elementary matrix)이라 한다.

만일, 정사각행렬 A에 대해서 AB = BA = I를 만족하는 정사각행렬 B가 존재한다면, A는 가역(invertible)이라 하고 B를 A의 역행렬(inverse matrix)라 한다. 만일에 이와 같은 행렬 B가 존재하지 않는다면 A를 특이행렬(sigular matrix)이라 한다.

단위행렬 I에 기본행연산으로 기본행랼 E가 얻어졌다고 할 때, 역으로 이를 다시 환원시키는 기본행연산이 존재한다. 즉, 모든 기본행렬은 가역이고, 그 역행렬 또한 기본행렬이다. 즉, 어떤 행렬 A의 역행렬을 구하고자 한다면, A를 단위행렬로 변형하는 일련의 기본행연산 열을 구해야 하고, 이 연산을 I에 적용하면 A의 역행렬을 얻을 수 있다. 만일 행렬 A가 inverse를 가지지 않는다면 기본행연산 도중 0만으로 이루어진 행이 나타나며, 이런 결과를 얻었다면 더 이상 계산할 필요없이 행렬 A를 역행렬을 가지지 않는다고 판정할 수 있다.

예를 들어, 다음 2 × 2 행렬의 경우,

a    b
c    d

이 행렬이 역행렬을 가지는지 여부를 판단하기 위해서는 ad - bc ≠ 0인지를 확인하면 되는데, 이것은 사실 위의 기본행연산을 통해 주어진 행렬을 단위 행렬로 변형한 결과이다.


Reference
Howard Anton, Elementary Linear Algebra 9th Edition, John Wiley & Sons, Inc.