미분법은 곡선에 접선을 그리는 문제와 함수의 극대, 극소값을 구하는 데에서 유래되었다고 전해지기도 한다. 비록 그 같은 고찰이 고대 그리스까지 거슬러올라간다 하더라도 미분법을 최초로 명확하게 예상한 것은 1629년 페르마가 설명한 착상으로부터였다고 함이 타당할 것이다.
케플러는 함수의 증분은 보통 극대 또는 극소값 근방에서는 무한소가 된다는 것을 알게 되었다. 페르마가 이 사실을 극대값, 극소값을 결정하는 방법으로 변형시켰다. 간략하게 이 방법을 고찰해보자. f(x)가 x에서 보통의 극대값 또는 극소값을 갖고 e가 매우 작다면 f(x - e)의 값은 거의 f(x) 의 값과 같다. 그러므로 시험적으로 f(x - e) = f(x)라 놓고 나서 e가 0 값을 갖게 함으로써 이 등식을 참이 되게 만든다. 그 결과로 생기는 등식의 근이 f(x)가 극대값 또는 극소값을 갖는 x의 값이 된다.
이제 페르마의 첫번째 예 - 어떤 양을 곱이 최대가 되는 두 부분으로 나누는 것을 고찰함으로써 위의 방법을 예증해 보자. 페르마는 비에트의 표기법을 사용했는데 거기에서 상수는 대문자 자음으로, 변수는 대문자 모음으로 표기했다. 이 표기법에 따라서 B를 주어진 양이라 하고 구하려는 부분을 A와 B - A로 나타내어,
(A - E)(B - (A - E))를 A(B - A)와 같다고 하면,
A(B - A) = (A - E)(B - A + E), 2AE - BE - E^2 = 0, 즉 E로 나누면 다음을 얻는다.
2A - B - E = 0
E = 0으로 놓으면 2A = B를 얻고, 결국 구하는 분할을 얻는다.
페르마의 설명의 논리가 완전 무결하지는 않지만, 그의 방법은
lim(h → 0)(f(x + h) - f(x)) / h = 0
으로 놓는 것, 즉 f(x)의 도함수는 0과 같게 놓는 것과 같다는 사실이 밝혀졌다. 이것이 함수 f(x)의 극대, 극소를 구하는 관습적인 방법이며 때때로 기초 교과서에서 페르마의 방법(fermat's method)이라고 불리기도 한다. 그러나 페르마는 f(x)의 도함수가 0에 접근하는 것이 보통의 극대값, 극소값을 구하기 위한 충분조건은 아니고 필요조건일 뿐이라는 것을 알지 못했다. 또한 페르마의 방법은 극대값과 극소값을 구별하지 못한다.
Reference
Howard Eves, An Introduction To The History Of Mathematics, Suderns Colleage Publishing
Library/Mathematics