선형계의 중요한 성질은 벡터를 이용하여 나타낼 수 있다. 일반적으로, R^n이라는 표현은 n개의 요소를 가지는 벡터 공간을 의미한다. 즉, [ a1, a2, a3, ... an ]은 R^n 벡터 공간이라 할 수 있으며, 선형계는 벡터를 이용해서 나타낼 수 있으므로, 만약 ∃b ∈ R^n이라는 질문이 주어진다면, 이것은 n * m으로 표현할 수 있는 행렬 A에 대해 Ax = b를 만족하는 선형방정식의 해의 존재 유무를 묻는 것으로 생각할 수 있다.
만약, ∀b ∈ R^n라는 조건을 만족한다면, 이것은 기하학적으로 R^n 평면을 나타낸다고 할 수 있다.
다음 정리에서 A의 열들이 R^m을 생성한다는 것은, ∀b ∈ R^m이 A의 열들의 일차결합으로 표현된다는 것을 의미한다. A를 m * n 행렬이라고 했을 때, 다음의 명제는 모두 같다. 즉, 특별한 A에 대해 다음 세 명제는 모두 참이거나 모두 거짓이다.
1. ∀b ∈ R^m에 대해서 방정식 Ax = b는 해를 가진다.
2. ∀b ∈ R^m은 A의 열의 일차결합이다.
3. A의 모든 열이 R^m을 생성한다.
4. A가 모든 행에서 피벗위치를 가진다.
행렬 A는 첨가행렬(argument matrix)이 아니며, 계수행렬(coefficient matrix)이다. 명제 4에서 주성분을 가진다는 것은, 0 = b (b ≠ 0)의 결과가 있어서는 안된다는 의미이다.
만약, ∀b ∈ R^n라는 조건을 만족한다면, 이것은 기하학적으로 R^n 평면을 나타낸다고 할 수 있다.
다음 정리에서 A의 열들이 R^m을 생성한다는 것은, ∀b ∈ R^m이 A의 열들의 일차결합으로 표현된다는 것을 의미한다. A를 m * n 행렬이라고 했을 때, 다음의 명제는 모두 같다. 즉, 특별한 A에 대해 다음 세 명제는 모두 참이거나 모두 거짓이다.
1. ∀b ∈ R^m에 대해서 방정식 Ax = b는 해를 가진다.
2. ∀b ∈ R^m은 A의 열의 일차결합이다.
3. A의 모든 열이 R^m을 생성한다.
4. A가 모든 행에서 피벗위치를 가진다.
행렬 A는 첨가행렬(argument matrix)이 아니며, 계수행렬(coefficient matrix)이다. 명제 4에서 주성분을 가진다는 것은, 0 = b (b ≠ 0)의 결과가 있어서는 안된다는 의미이다.