벡터에 대한 이해를 쉽게 하기 위해서, 지금까지 벡터라는 것은 2차원 또는 3차원 공간 내의 방향성을 가진 성분으로 정의했다. 그리고 좌표계와 성분은 벡터끼리의 계산을 간단히 하기 위해 도입한 것이다. 따라서, 벡터는 좌표계에 상관없이 수학적인 형식을 만족하는 것이다. 더구나, 벡터의 성분은 벡터 그 자체로서 고유한 것이라 할 수 없고, 어디까지나 선택된 좌표계에 의존한다. 예를 들어, 어떤 벡터 하나가 주어졌을 때 특정 좌표계에서 이 벡터의 성분은 (1, 1)이 될 수도 있지만, 다른 좌표계에서는 (2, 1)이 될 수도 있다.
여기에서, 벡터곱의 정의에 대해 중대한 의문이 발생하게 된다. 그것은, 벡터 u × v를 u와 v의 성분에 의해 정의했고, 이 성분들이 좌표계의 선택에 따라 달라진다면 u, v가 선택된 좌표계마다 다른 벡터곱을 가질 수 있다는 것을 의미하기 때문이다. 그러나, 이것은 그렇지 않다. 벡터곱의 정의를 살펴보면,
1. u × v는 u, v와 수직이다.
2. u × v의 방향은 오른손 법칙에 의해서 정해진다.
3. norm(u × v) = norm(u) * norm(v) * sinθ
위의 세 가지 성질에 의해 벡터곱 u × v는 완전히 결정된다. 첫째와 둘째 성질에 의하여 그 방향이 완전히 결정되고, 셋째 성질에 의해 그 길이(norm)가 확정된다. u × v의 이들 세 가지 성질은 어느 것이나 단지 u × v의 길이와 이들의 상대적인 위치 관계에만 의존하는 것에 지나지 않으며, 특별히 어떤 오른손 좌표계가 사용되었는가에는 의존하지 않는다. 벡터 u × v는 상이한 오른손 좌표계가 도입되었더라도 변하지 않는다. 따라서, u × v의 정의를 좌표계에 무관한(coordinate free) 정의라 한다. 이 결과는 벡터곱의 개념을 같은 문제에 있어서 여러 가지 좌표계에 응용하려는 물리학, 공학자들에게는 중요하다.
Reference
Howard Anton, Elementary Linear Algebra 9th Edition, John Wiley & Sons, Inc.
여기에서, 벡터곱의 정의에 대해 중대한 의문이 발생하게 된다. 그것은, 벡터 u × v를 u와 v의 성분에 의해 정의했고, 이 성분들이 좌표계의 선택에 따라 달라진다면 u, v가 선택된 좌표계마다 다른 벡터곱을 가질 수 있다는 것을 의미하기 때문이다. 그러나, 이것은 그렇지 않다. 벡터곱의 정의를 살펴보면,
1. u × v는 u, v와 수직이다.
2. u × v의 방향은 오른손 법칙에 의해서 정해진다.
3. norm(u × v) = norm(u) * norm(v) * sinθ
위의 세 가지 성질에 의해 벡터곱 u × v는 완전히 결정된다. 첫째와 둘째 성질에 의하여 그 방향이 완전히 결정되고, 셋째 성질에 의해 그 길이(norm)가 확정된다. u × v의 이들 세 가지 성질은 어느 것이나 단지 u × v의 길이와 이들의 상대적인 위치 관계에만 의존하는 것에 지나지 않으며, 특별히 어떤 오른손 좌표계가 사용되었는가에는 의존하지 않는다. 벡터 u × v는 상이한 오른손 좌표계가 도입되었더라도 변하지 않는다. 따라서, u × v의 정의를 좌표계에 무관한(coordinate free) 정의라 한다. 이 결과는 벡터곱의 개념을 같은 문제에 있어서 여러 가지 좌표계에 응용하려는 물리학, 공학자들에게는 중요하다.
Reference
Howard Anton, Elementary Linear Algebra 9th Edition, John Wiley & Sons, Inc.