인테그랄 도메인(integral domain)은 zero divisors1를 가지지 않기 때문에, 0이 아닌 요소들의 집합은 곱셈에 대해 닫혀있다. 그러므로, 곱셈은 이 0이 아닌 집합에서의 연산이며, 자연스럽게 이것이 군(group)인지 의문이 생기게 된다. 곱셈은 링(ring)에서 결합 법칙이 성립해야 하고, 여기서 정의하고자 하는 연산은 결합 법칙이 성립해야 한다. 또, 인테그랄 도메인은 항등원을 가지기 때문에 이 연산은 항등원을 가져야 한다. 따라서, 곱셈에 대해서, 0이 아닌 원소를 집합으로 하는 인테그랄 도메인은 역원의 부재 때문에 군이 될 수 없다.
인테그랄 도메인에서, 예를 들어, 0이 아닌 원소들은 단지 1과 -1만 역원을 가지기 때문에, 곱셈에 대해서 군을 형성하지 못한다. 그러나, 유리수의 인테그랄 도메인은, 0이 아닌 각 원소들은 곱셈에 대해서 역원을 가진다. 그런 인테그랄 도메인들은 다음과 같이 정의 할 수 있다.
def.
0이 아닌 원소를 가지는, 곱셈에 관해 교환 법칙이 성립하는 링을 필드(field, 체)라 한다.
필드는 링과 다음과 같은 관계가 있다.
fields ⊂ integral domains ⊂ commutative rings ⊂ rings
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John R. Durbin, Modern Algebra An Introduction, Fourth Edition, Johns Wiley & Sons, Inc p122, 123
- 교환법칙(commutative)이 성립하는 링 R에서, ab = 0일 때 b ≠ 0라면, a ≠ 0인 원소를 zero divisors라고 한다. [본문으로]