Transforming Normal Vector

페이스(face)를 하나 생성했을 때, 페이스에 대한 법선 벡터(normal vector)는 여러모로 유용하게 쓰인다. 만약, 페이스에 어떤 변환 행렬 A를 적용했을 때, A의 법선 벡터에도 이 변환 행렬을 적용할 수 있을까? 즉, A의 변환 뒤의 법선 벡터와, 변환 전의 페이스에 A를 적용한 결과가 같을까?

이것은 명확하게 정의되지 않는다. 왜냐하면, 컴퓨터에서의 부동 소수점은 그 자체가 정확하지 않기 때문이다. 단순히 같은 변환을 적용하여 원하는 정도의 정밀도의 값을 얻을 수 있는 경우도 있겠지만, 미묘하게 값이 맞지 않는 경우도 있을 수 있다. 그래서, 단순히 같은 변환을 적용하는 것보다, 변환 행렬이 적용된 페이스의 법선 벡터를 다시 계산하는 것이 좋다.

그러나, 법선 벡터를 재계산하는 것은 비교적 많은 계산 과정이 필요하다. 일반적인 그래픽 시스템에서는 4 * 4 행렬을 사용하며, 곱셈 명령은 비교적 긴 머신 사이클을 필요로 하는 명령이다. 따라서, 페이스 각각에 대해서 이런 계산을 하는 것은 상당히 비싼 작업이다. 그러나, 특정 경우 법선 벡터를 간단하게 계산할 수 있는 좋은 방법이 있다.


문제를 정리해보자. 어떤 페이스를 변환하는 행렬 A가 주어졌을 때, 이 페이스의 법선 벡터를 변환 행렬 A가 적용된 뒤의 페이스와 수직이 되도록 하는 변환 행렬 B는 무엇인가? 즉, n은 페이스의 법선 벡터이고, 페이스의 탄젠트 벡터^[각주:1] u와 수직일 때 uA · nB = 0을 만족하는 B는 무엇인가? 다음은 B를 구하기 위한 과정을 정리한 것이다.



∵ 탄젠트 벡터와 법선 벡터의 유클리드 내적은 0이다.


∵ 유클리드 내적이 아닌, 일반적인 행렬의 곱으로 다시 표기해도 결과는 마찬가지이다.






∵ 전치 행렬을 다시 한번 뒤집으면 자기 자신이 된다.


∵ 곱으로 이루어진 항에 전치 행렬을 적용할 때는 역순이 된다 :




즉, 구하고자 하는 행렬 B는 주어진 변환 행렬의 역행렬의 전치 행렬이다. 그런데, A가 직교 행렬(orthogonal matrix)^[각주:2]일 경우, A^T = A^-1의 관계가 있다. 따라서, B = (A^T)^T = A가 된다. 이것은, 법선 벡터를 계산하기 위해 새로운 계산을 할 필요 없이, 그냥 변환 행렬 A를 적용하면 된다는 뜻이다. 즉, 비균등(nonuniform), 또는 쉬어(shear) 변환일 경우 이것을 사용하면 된다. 전치 행렬에 대해서는, 다음을 참조하라. : http://celdee.tistory.com/625

그러나, 위와 같은 변환조차도 때로는 정확하지 않을 수 있다. 그럴 때는 변환 뒤에 법선 벡터를 다시 계산해야만 한다.

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Copy From
Frank D. Luna, Introduction to 3D Game Programming with DirectX 10, Wordware Publishing Inc., p184

1. 곡선의 진행 방향과 같은 방향을 가진 벡터를 말한다. 페이스의 경우, 표면을 의미하는 벡터라고도 할 수 있다. [본문으로]
2. 직교 행렬이란, 행렬의 행이나 열의 실수 성분이 직교적인 단위 벡터로 이루어진 행렬을 말한다. [본문으로]