링은, 명시적으로 연산을 정의하지 않았다면, 거의 언제나 덧셈과 곱셈 두 연산에 대한 집합을 대상으로 한다. 만약 필요하다면, 링이 어떤 두 연산을 정의하고 있는지 명시적으로 밝힐 수도 있다. 일반적으로, 군(group)은 덧셈이라는 하나의 정의만 다루고 있고, 곱셈에 관한 연산을 쓰지 않았다. 즉, 두 개 이상의 어떤 복합적인 연산에 대해서 대수 구조를 확장하지 않은 것인데, 링은 바로 그런 경우까지 다룬다. 따라서, 링은 군보다 조금 더 큰 개념이라 할 수 있는데, 정의는 다음과 같다.
def.
링은, 두 연산(덧셈, 곱셈)을 가지는 집합 R이며, 다음의 공준(postulate, axioms)을 만족한다.
1. 덧셈에 관한 R은 아벨군(abelian group, commutative group, 가환군)이다. 즉,
a, b, c ∈ R, a + ( b + c) = (a + b) + c
2. 만약 0 ∈ R이라면,
a ∈ R, a + 0 = 0 + a = a
3. a ∈ R, -a ∈ R이라면,
a + (-a) = (-a) + a = 0,
a, b ∈ R, a + b = b + a
4. 곱셈에 대해 결합법칙(associative law)이 성립한다.
a, b, c ∈ R, a(bc) = (ab)c
5. 분배법칙(distrubutive law)이 성립한다.
a, b, c ∈ R, a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc
이런 이유 때문에, 군에서의 a, b, c ∈ R, a + b = a + c는 b = c을 의미하고, 정수를 원소로 하는 링에서의 ab = ac, b = c(a ≠ 0)라는 것을 의미하지만, 이것이 곧 모든 링에서 성립하는 것은 아니다. 또, 군의 경우와 마찬가지로, 다음 정의를 만족하면 이것을 서브링(subring)이라 한다.
def.
링 R에서의 부분 집합 S이, R에서의 연산에 관해 그 자체로서의 링이라면, S를 R의 서브링이라 한다.
예를 들어, 짝수를 원소로 가지는 링은 모든 정수를 원소로 가진 링의 서브링이다. 또, 정수의 링은 유리수 링의 서브링이다. 다시 말하지만, 군, 링과 같은 것은 모두 대수 구조를 의미하는 것이며, 이들 대수 구조가 가지는 원소들을 의미하는 것이 아니다.
Reference
John R. Durbin, Modern Algebra An Introduction, Wiley & Sons, Inc. 2000
