.... 앞에서의 벡터 개념을 일반적인 공리로 다시 정의해보자. 어떤 공리계를 지정하고, 만일 어떤 대상이 이것을 만족하면 이것을 벡터라고 하는 것이다. 일반화된 이들 벡터는 그 중에서도 특히 여러 가지 종류의 행렬과 함수들도 포함된다. 새로운 종류의 벡터를 정리하기 위해 주어진 공리는 R^2, R^3의 벡터가 지니고 있는 여러 가지 성질에 근거를 두고 있는 까닭에, 이들 새로운 벡터는 R^2와 R^3의 벡터에 관한 여러 가지 익숙한 성질을 만족한다. 따라서 새로운 종류의 벡터, 말하자면 행렬 또는 함수를 수반하는 문제를 풀고자 하는 경우, 대응하는 문제가 R^2과 R^3의 무엇과 같은가를 구체화함으로써 그 문제에 대한 발판을 얻을 수 있다. ....
새로운 벡터공간의 공리는 다음과 같다. 공리는 증명할 필요가 없음을 주의해야 한다. 물론, 공리 자체가 절대적인 것은 아니지만, 여기서는 지켜야 할 새로운 규칙으로 생각하면 될 것이다.
V를 두 연산, 즉, 합과 스칼라곱이 정의되어 있는 대상의 임의의 집합이라고 하자. 여기서 합이란 V의 임의의 두 원소 u, v에 대해서 u와 v의 합이라 불리는 u + v인 V의 원소를 대응시키는 규칙을 뜻하고, 스칼라곱이란 V의 임의의 원소 u와 임의의 스칼라(실수) k에 대해서 스칼라곱이라 하는 ku인 V의 원소를 대응시키는 규칙을 뜻한다. 다음 모든 공리가 V의 모든 원소 u, v, w와 모든 스칼라 k, l에 대해 만족할 때 V를 벡터공간(vector space)이라 하고 V의 원소를 벡터(vector)라 부른다.
axiom.
1. V의 원소 u, v에 대해서 u + v는 V에 속한다.
2. u + v = v + u
3. u + (v + w) = (u + v) + w
4. V의 영벡터(zero vector)라 불리는 원소 0이 오직 하나 존재해서 V의 모든 u에 대해
0 + u = u + 0 = u
5. V의 각 u에 대해서 u의 역원(negative of u)이라 불리는 V의 원소 -u가 오직 하나 존재해서
u + (-u) = (-u) + u = 0
6. k가 임의의 스칼라이며, u가 V의 원소일 때 ku는 V에 속한다.
7. k(u + v) = ku + kv
8. (k + l)u = ku + lu
9. k(lu) = (kl)u
10. 1u = u
여기서, 응용에 따라서는 스칼라는 실수 또는 복소수일 수 있다. 스칼라가 복소수인 경우의 벡터공간을 복소 벡터공간(complex vector space)이라 하고, 스칼라가 실수인 경우의 벡터공간을 실 벡터공간(real vector space)이라 한다.
또, 이 공리는 벡터나 그 연산의 본질에 대해서는 언급하지 않고 있다. 어떤 종류의 대상은 벡터가 될 수 있고, 덧셈과 스칼라곱의 연산은 어떠한 관계도 갖지 않을 수도 있으며, R^n의 표준 벡터 연산에 유사하지 않을 수도 있다. 벡터공간은 오직 위의 열 가지 공리만을 만족하는 것을 요구한다.
Reference
Howard Anton, Elementary Linear Algebra 9th Edition, Pearson Education