R^n에서 R^m으로의 선형 변환에서, w = F(x)인 함수를 생각해보자. 여기서 x는 R^n의 벡터이며, w는 R^m의 벡터이다. 선형변환(linear transformation)은, 이와 같은 함수의 특수한 종류를 뜻하는 것이다. 선형변환은 선형대수의 연구에 있어서 기본이고, 물리, 공학, 사회과학과 수학 등 여러 분야에 중요하게 응용된다.
먼저, 함수(function)란 집합 A의 각 원소에 집합 B의 오직 하나의 원소를 대응하는 규칙 f이다. f가 원소 a에 원소 b를 대응시킬 때 b = f(a)로 표기하고, b를 f에 의한 이미지(image, 상), 또는 a에 있어서 f의 값(value)이라 한다. 집합 A를 f의 도메인(domain, 정의역)이라 하고, 집합 B를 f의 코-도메인(codomain, 공역)이라 한다. a가 A에서 변할 때 f에 의한 모든 가능한 값으로 이루어진 B의 부분집합을 레인지(range, 치역)라 한다. 가장 일반적인 함수로서는 A와 B는 실수의 집합이고 이 경우에 f를 실변수의 실수값 함수라 한다. 다른 일반적인 경우는 B가 실수의 집합이고 A가 R^2, R^3, 더욱 일반적으로 R^n의 벡터의 집합인 경우에 나타난다. 두 함수 f1과 f2가 같은 도메인을 가지고 그 도메인의 모든 에 대해서 f1(a) = f2(a)이면 이들 두 함수는 같다고 생각하고, f1 = f2로 표기한다.
만약, 함수 f의 도메인이 R^n이고, 그 코-도메인이 R^m일 때 f를 R^n에서 R^m으로의 변환(transformation)이라 하고, 이 경우 f는 R^n을 R^m으로의 매핑(mapping, 사상)이라 하며 f : R^n → R^m으로 표기한다. 특히, n = m인 경우에는 변환 f : R^n → R^n을 R^n 상의 연산자(operator)라 한다.
그렇다면 선형변환이란 무엇인가? 예를 들어, 다음과 같은 경우를 보자.
w1 = f1(x1, x2, x3, ...., xn)
w2 = f2(x1, x2, x3, ...., xn)
w3 = f3(x1, x2, x3, ...., xn)
....
wm = fm(x1, x2, x3, ...., xn)
이들 m개의 방정식은 R^n의 각 점을 R^m의 유일한 점으로 (w1, w2, w3, ...., wm)으로 대응시킨다. 따라서, 이것은 R^n에서 R^m으로의 변환을 정의하는 것이다. 이 변환을 T로 표시하면 T : R^n → R^m이고
T(x1, x2, x3, ...., xn) = (w1, w2, w3, ...., wm)
이다. 특히, 함수 f의 방정식이 선형방정식일 경우, 이들 방정식에 의해 정의되는 변환 T : R^n → R^m을 선형변환(특히 n = m일 때는 선형연산자라 한다)이라 한다. T : R^n → R^m은 형식이
w1 = a11 * x1 + a12 * x2 + .... + a1n * xn
w2 = a21 * x1 + a22 * x2 + .... + a2n * xn
....
wm = am1 * x1 + am2 * x2 + .... + amn * xn
인 방정식으로 정의되고, 이것을 행렬을 사용하여 정의할 수도 있으며, 간단하게
w = Ax
로 나타낼 수도 있다. 행렬 A를 선형변환 T의 표준행렬(standard matrix)이라 하고, T를 A의 곱(multiplication by A)이라 한다.
Reference
Howard Anton, Elementary Linear Algebra 9th Edition, Pearson Education
먼저, 함수(function)란 집합 A의 각 원소에 집합 B의 오직 하나의 원소를 대응하는 규칙 f이다. f가 원소 a에 원소 b를 대응시킬 때 b = f(a)로 표기하고, b를 f에 의한 이미지(image, 상), 또는 a에 있어서 f의 값(value)이라 한다. 집합 A를 f의 도메인(domain, 정의역)이라 하고, 집합 B를 f의 코-도메인(codomain, 공역)이라 한다. a가 A에서 변할 때 f에 의한 모든 가능한 값으로 이루어진 B의 부분집합을 레인지(range, 치역)라 한다. 가장 일반적인 함수로서는 A와 B는 실수의 집합이고 이 경우에 f를 실변수의 실수값 함수라 한다. 다른 일반적인 경우는 B가 실수의 집합이고 A가 R^2, R^3, 더욱 일반적으로 R^n의 벡터의 집합인 경우에 나타난다. 두 함수 f1과 f2가 같은 도메인을 가지고 그 도메인의 모든 에 대해서 f1(a) = f2(a)이면 이들 두 함수는 같다고 생각하고, f1 = f2로 표기한다.
만약, 함수 f의 도메인이 R^n이고, 그 코-도메인이 R^m일 때 f를 R^n에서 R^m으로의 변환(transformation)이라 하고, 이 경우 f는 R^n을 R^m으로의 매핑(mapping, 사상)이라 하며 f : R^n → R^m으로 표기한다. 특히, n = m인 경우에는 변환 f : R^n → R^n을 R^n 상의 연산자(operator)라 한다.
그렇다면 선형변환이란 무엇인가? 예를 들어, 다음과 같은 경우를 보자.
w1 = f1(x1, x2, x3, ...., xn)
w2 = f2(x1, x2, x3, ...., xn)
w3 = f3(x1, x2, x3, ...., xn)
....
wm = fm(x1, x2, x3, ...., xn)
이들 m개의 방정식은 R^n의 각 점을 R^m의 유일한 점으로 (w1, w2, w3, ...., wm)으로 대응시킨다. 따라서, 이것은 R^n에서 R^m으로의 변환을 정의하는 것이다. 이 변환을 T로 표시하면 T : R^n → R^m이고
T(x1, x2, x3, ...., xn) = (w1, w2, w3, ...., wm)
이다. 특히, 함수 f의 방정식이 선형방정식일 경우, 이들 방정식에 의해 정의되는 변환 T : R^n → R^m을 선형변환(특히 n = m일 때는 선형연산자라 한다)이라 한다. T : R^n → R^m은 형식이
w1 = a11 * x1 + a12 * x2 + .... + a1n * xn
w2 = a21 * x1 + a22 * x2 + .... + a2n * xn
....
wm = am1 * x1 + am2 * x2 + .... + amn * xn
인 방정식으로 정의되고, 이것을 행렬을 사용하여 정의할 수도 있으며, 간단하게
w = Ax
로 나타낼 수도 있다. 행렬 A를 선형변환 T의 표준행렬(standard matrix)이라 하고, T를 A의 곱(multiplication by A)이라 한다.
Reference
Howard Anton, Elementary Linear Algebra 9th Edition, Pearson Education