Projection : Vector

여러 가지 응용에 있어서 벡터 u를 지정된 0이 아닌 벡터 a에 나란한 부분과 a에 수직인 두 벡터의 합으로 분할하는 것은 흥미 있는 일이다. 만일, u와 a가 시초점이 어떤 Q에서 일치하도록 위치하고 있다면 벡터 u를 해당 성분 w1, w2를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. (w1은 수평 성분, w2는 수직 성분)

u = w1 + w2
∴ w2 = u - w1

여기서 벡터 w1은 수평으로 나란한 직선인 a와 나란하며, 벡터 w2는 a에 수직이다. 이때, 벡터 w1을 u에서 a로의 정사영(orthogonal projection of u on a), 또는 a를 따르는 u의 벡터 성분이라 하고 이것을

proj(sub(a))u

로 표시한다. 벡터 w2를 a에 직교하는 벡터 성분으로 표시하며, w2 = u - w1이므로 이 벡터는 위의 표기를 사용하여

w2 = u - proj(sub(a))u

와 같이 표기할 수 있다. 다음 정리는 벡터 proj(sub(a))u와 u - proj(sub(a))u를 계산하는 공식을 제공한다.

proj(sub(a))u = u · v / norm(a)^2 * a (a를 따르는 u의 벡터성분)
u - proj(sub(a))u = u - u · v / norm(a)^2 * a (a에 수직인 u의 벡터성분)

이것은 다음처럼 증명할 수 있다.


pf.
w1 = proj(sub(a))u이고, w2 = u - proj(sub(a))u라 하자. w1은 a에 나란하므로 이것은 a의 스칼라곱이어야 하며, 형식 w1 = ka이다. 따라서,

u = w1 + w2 = ka + w2, 이 식의 양변에 내적을 적용하면,
u · a = (ka + w2) · a = k * norm(a)^2 + w2 · a

여기서 w2는 a에 수직이므로 w2 · a = 0이다. 따라서, 이것을 k에 대해 정리하면,
k = u · a / norm(a)^2,

proj(sub(a))u = w1 = ka,
∴ proj(sub(a))u = u · a / norm(a)^2 * a


Reference
Howard Anton, Elementary Linear Algebra 9th Edition, Pearson Education