e : A Mysterious Number

는 수학사에서 와 함께 매우 중요한 수이다. 해석학의 중추를 담당하는 신비로운 수이기 때문이다. 현대 수학은 크게 기하학, 해석학, 대수학으로 분류할 수 있으며, 그 외에도 위상 수학이라는 새로운 분야가 활발하게 연구 중이다. 기하학은 다시 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학으로 나뉘어지며, 해석학은 미적분이 중심이 되는 분야이다. 대수학은 수학 기호 체계의 형식성을 다룬다. 는 바로 미적분학의 발생부터 가장 중요한 역할을 담당한 수이다. 특히, 오일러는 와 함수 에서 허수를 취하도록 했는데, 이렇게 해서 얻은 함수의 놀라운 성질은 복소 함수론으로 이르는 길을 만들었다.


는 과연 어떤 수일까?

인류가 가장 먼저 다루기 시작한 수는 자연수이다. 이 때에는 수를 다루는데 0이란 개념이 존재하지도 않았고, 단지 수를 정확하게 세는게 중요할 뿐이었다. 셈으로서의 수만 필요했다.

그러나, 사람들이 점차 세는게 아니라 무엇인가를 측량하기 시작하면서, 분수가 필요하게 된다. 왜냐하면, 측량한 값은 다른 수의 정수배가 되지 않는 경우가 많기 때문이다. 사람들은 곧 분수 체계를 받아들였고, 이것은 한동안 수의 모든 것으로 보였다. 특히, 피타고라스는 자연을 구성하는 모든 것은 수라고 믿었다. 고대 그리스 사람들이 분수야말로 모든 것의 근원이라고 믿었던 것은, 실로 자연스러운 결과였다. 유리수를 뜻하는 rational number의 rational은 여기에 바탕을 둔 것이다. 또, 현대 수학에서의 대수적인 수라고 하면, 보통 b / a 형태로 나타낼 수 있는 수를 말하며, 이것은 유리수이다.

그러나 유리수가 수의 모든 것이 아니라는 것은, 유명한 문제를 통해 피타고라스 학파 내부로부터 발견된다. 즉, 각 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 절대로 유리수가 될 수 없었으며, 이를 통해 무리수(irrational number)는 세상에 알려지게 된다. '유리수의 조밀성' 때문에, 임의의 수직선의 모든 점을 유리수로 채울 수 있으리라 생각되었지만, 유리수로는 결코 채울 수 없는 '틈'이 발견된다. 더욱이 이런 수들이 유리수보다 더 많다는 사실도 알게 된다.

e는 바로 이 무리수의 일종이다. e는, 복리 계산과 관련된 을 통해 막연하게 알려졌는데, 놀랍게도 이 수는 어떤 수에 점차 수렴하지만 결코 대수적인 수가 아니었다.

오일러는 미적분학이 논쟁에 휘말려 있었고, 극한의 개념이 명확하지 않았을 때 명확히 정의되지 않은 방법으로 그의 유명한 공식을 창조해냈다. 이 공식은 나중에 엄밀한 검증을 받아 옳다고 증명되었지만, 이 공식은 명확한 정의에 따라 유도된 것은 아니었다.

즉, 는 5이며, 7이 아니다. 이것은, 가 덧셈에 대해 와 같은 방법으로 연산할 수 있도록 정의되지 않았기 때문이다. 극한도 비슷하게, 극한으로 묶인 한 항의 합을 임의로 빼낼 수 없다. 위의 수렴값을 알기 위해, 뉴턴은 이항 정리를 통해 다음의 급수를 알아냈다.

 



오일러는 에 대한 지수 함수와 로그 함수를 다음과 같이 새롭게 정의했고,





를 치환하여 다음과 같은 식으로 변형했다. 사실, 는 유리수로 제한되기 때문에 여기에 허수를 도입할 수는 없다.





또, 오일러는 각 항들을 실수항과 허수항으로 모아서 정리했는데, 이것은 위에서 말한 것과 같이 극한에서 정의되지 않은 행동이다. 극한에서 각 항의 연산 순서를 바꾸는 것은 결과를 어떤 수에 수렴하게 만들 수도 있고, 발산하게 만들 수도 있기 때문이다. 다시 말하지만, 오일러가 살았던 시대는 극한의 개념이 엄밀하게 정의되었던 시대가 아니었다. 여튼, 오일러는 이 방법으로 위의 식을 다음과 같이 변형했다.





실수 부분과 허수 부분을 관찰하면, 이것이 와 의 급수 형태라는 것을 알 수 있으며, 이를 이용하여 오일러는 다음과 같은 놀라운 공식을 얻었다.





여기서, 를 로 바꾸면 다음과 같은 식을 얻고,





이들을 각각 와 에 대해 정리하면 다음과 같은 식을 얻는다.





이 관계를 '삼각 함수에 관한 오일러의 공식'이라고 부른다. 이 공식은 엄밀하지 않은 방법으로 유도된 것이지만, 완전히 참으로 증명된 것이다. 그리고, 에 를 대입하면 수학에서 가장 의미 있는 공식이라고 일컫어지는 다음의 공식을 얻게 된다.





이 공식은 수학에서 가장 중요한 모든 상수를 포함한다. 즉, 1과 0은 산술을, 는 대수학을 의미하며 는 기하학을, 는 해석학을 각각 나타낸다.

---

Reference
Eli Maor, e : The Story of a Number , Princeton University Press, 1994
허 민 (역), 오일러가 사랑한 수 e, 경민사, 2008