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테일러 급수

Numerical Differentiation 1 수치 미분은 사실 수치 적분보다 훨씬 단순하지만, 실제로 적분만큼 자주 쓰이지 않는다. 만약, 함수 자체가 주어져 있지 않고, 함수값만 주어진 상태라고 하자. 여기서 미분값을 구하고자 한다면, 가장 단순한 방법은 아주 작은 무한소 h를 주고, (f(x + h) - f(x)) / h를 통해 미분값을 구하는 방법이다. 물론, 함수가 주어져 있지 않기 때문에 f(x + h)를 직접 구할 수는 없다. 여기서도 적분에서 적용된 정밀도에 관한 차수의 개념이 적용되는데, f(x + h)와 f(x)를 잇는 선이 직선이라고 가정한다면, 이것은 일차식의 형태로 표현될 수 있고 위의 개념을 하나의 식으로 정리할 수 있다. 물론, 이 직선은 실제 함수와 다를 수 있으며, 2차, 3차식 따위로 차수를 높여나간다면 좀 더 원래의.. 더보기
Sine Function Implementation 사인(sine) 함수를 구현하는데 가장 중심이 되는 전략은, 사인 함수와 같은 삼각 함수가 주기 함수라는 것이다. 즉, 입력값이 계속 변하는 것이 아니라, 일정값을 중심으로 계속해서 변하기 때문에 특정 입력 범위에 대해서 상수 시간의, 적절한 오차의 계산만 해주면 쓸만한 구현을 얻을 수 있다. 특히, 사인 함수를 테일러 급수(Taylor Series)를 전개해서 근사식을 얻어보면, 각 항의 분모가 매우 빠르게 수렴한다는 것을 알 수 있다. 먼저, 사인 함수를 테일러 급수를 사용해서 전개하면 다음과 같다. sin(x) = x - (x^3 / 3!) + (x^5 / 5!) -(x^7 / 7!) + .... 즉, 테일러 급수로 전개했을 때 sin(x)의 일반항은, sin(n)(x) = (-1)^n * ((x^.. 더보기

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