매핑(Mapping, 寫像)은 수학 전체에 걸쳐 매우 중요한 개념이다. 매핑이란, 어떤 집합 S의 원소를 어떤 집합 T의 원소로 대응시킨다는 뜻이다. 매핑은 보통 함수(function)를 의미하며, 산술(calculus)에서는 함수라는 말이 더 일반적이다. 사실 함수와 매핑은 동의어이지만, 이 개념의 일반성을 더 강조하기 위해서 매핑이라는 용어를 사용한다. 매핑의 정의는 다음과 같다.
def.
집합 S에서 집합 T로의 매핑은, S의 각 원소를 T의 어느 원소로 유일하게 대응할지 결정하는 관계이다. 집합 S는 패밍의 도메인(domain)이라 불리며, 집합 T는 코-도메인(codomain)이라 한다.
매핑은 일반적으로 그리스 문자 α로 표기하며, 이것은 집합 S에서 T로의 관계를 나타낸다. 만약, x가 집합 S의 원소라며, α(x)에 의해 결정되는 집합 T의 원소는, α에 의한 x의 이미지(image)라고 한다.
α(S) → T에 대해서, α(S) = T일때, 매핑 α는 onto(국내 서적에서 全射라고 표현하는)라고 한다. 만약, α(S)에 의한 이미지가 T와 같지 않다면, 이것은 onto 관계가 아니다. 또, 주목할만한 것으로 1 : 1 대응이라 불리는 one to one 관계가 있다. 만약 α : S → T이 one to one 관계가 되기 위해서는, x1 ≠ x2일 때 α(x1) ≠ α(x2), x1, x2 ∈ S라는 관계를 만족해야 한다.
마지막으로 연산이란, 어떤 집합에서의 순서 있는 짝(ordered pair)이 같은 집합의 다른 짝과 대응하는 것을 말한다. 이 대응되는 짝들은 집합에서 완전하게 유일해야 한다.
여담으로, 계산에 뛰어난 수학자보다 그렇지 않은 수학자가 더 흔하다. 특히, 간단한 계산도 자주 틀리는 수학자도 심심치 않게 있었던 모양이다. 그 수학자의 이름은 지금 잘 기억나지 않지만, 수업 중에 계산이 틀리기 일쑤여서 학생들이 일부러 여러 개의 틀린 답을 제시하여 장난을 쳤다. 그럴 때마다 그 수학자는, '아니, 학생, 그건 옳지 않아요. 정수에서의 덧셈의 결과는 유일하게 하나로 결정되어야 하기 때문에 동시에 여러 개의 답이 나올 수 없어요. 음, 내가 뭔가 잘못한 것 같긴 한데..'라고 이야기했다고 한다.
Reference
John R. Durbin, Modern Algebra An Introduction, Wiley & Sons, Inc., 2000
def.
집합 S에서 집합 T로의 매핑은, S의 각 원소를 T의 어느 원소로 유일하게 대응할지 결정하는 관계이다. 집합 S는 패밍의 도메인(domain)이라 불리며, 집합 T는 코-도메인(codomain)이라 한다.
매핑은 일반적으로 그리스 문자 α로 표기하며, 이것은 집합 S에서 T로의 관계를 나타낸다. 만약, x가 집합 S의 원소라며, α(x)에 의해 결정되는 집합 T의 원소는, α에 의한 x의 이미지(image)라고 한다.
α(S) → T에 대해서, α(S) = T일때, 매핑 α는 onto(국내 서적에서 全射라고 표현하는)라고 한다. 만약, α(S)에 의한 이미지가 T와 같지 않다면, 이것은 onto 관계가 아니다. 또, 주목할만한 것으로 1 : 1 대응이라 불리는 one to one 관계가 있다. 만약 α : S → T이 one to one 관계가 되기 위해서는, x1 ≠ x2일 때 α(x1) ≠ α(x2), x1, x2 ∈ S라는 관계를 만족해야 한다.
마지막으로 연산이란, 어떤 집합에서의 순서 있는 짝(ordered pair)이 같은 집합의 다른 짝과 대응하는 것을 말한다. 이 대응되는 짝들은 집합에서 완전하게 유일해야 한다.
여담으로, 계산에 뛰어난 수학자보다 그렇지 않은 수학자가 더 흔하다. 특히, 간단한 계산도 자주 틀리는 수학자도 심심치 않게 있었던 모양이다. 그 수학자의 이름은 지금 잘 기억나지 않지만, 수업 중에 계산이 틀리기 일쑤여서 학생들이 일부러 여러 개의 틀린 답을 제시하여 장난을 쳤다. 그럴 때마다 그 수학자는, '아니, 학생, 그건 옳지 않아요. 정수에서의 덧셈의 결과는 유일하게 하나로 결정되어야 하기 때문에 동시에 여러 개의 답이 나올 수 없어요. 음, 내가 뭔가 잘못한 것 같긴 한데..'라고 이야기했다고 한다.
Reference
John R. Durbin, Modern Algebra An Introduction, Wiley & Sons, Inc., 2000
