.... 평면상의 점의 위치를 2개의 수의 순서쌍으로 나타내고, 3차원 공간의 점의 원치를 3개의 수의 순서쌍으로 나타내려는 발상은 17세기 중엽에 이르러 비로소 형성된 것이다. 18세기 후반에 접어들어, 수학자나 물리학자들은 3개의 수의 순서쌍에서 멈출 필요가 없음을 깨닫기 시작했다. 4개의 수의 순서쌍 (a1, a2, a3, a4)이 '4차원' 공간의 점으로, 5개의 수의 순서쌍 (a1, a2, a3, a4, a5)이 '5차원' 공간의 점으로 생각할 수 있음이 인식되었다. ....
고차원 공간 벡터의 몇 가지 예는 다음과 같다.
1. 실험 데이터 : 과학자는 실험을 수행하고 실험이 수행되는 각 시간에 n개의 수치 측정을 작성한다. 각 실험의 경과는 R^n의 하나의 벡터 y = (y1, y2, y3, ..., yn)으로 생각하고, 여기서 y1, y2, ... yn은 측정된 값들이다.
2. 보관과 창고영업 : 국영 트럭 운송회사는 15개의 보관용 창고와 운송 트럭을 갖추고 있다. 각 지정된 시간에 공급하는 창고의 트럭 분배는 15짝 x = (x1, x2, x3, ... x15)로 기술할 수 있고, 여기서 x1은 첫째 창고에서의 트럭수, x2는 둘째 창고에서의 트럭수 등등이다.
3. 그래프의 영상 : 색상(color images)이 컴퓨터 스크린 상에 만들어지는 한 가지 방법은 한 픽셀에 빛깔(hue), 채도(saturation) : 색의 포화도), 휘도(brightness : 밝음의 정도)를 나타내는 세 성분을 지정하는 것이다. 따라서 완전한 색상은 5짝의 벡터 형식 v = (x, y, h, s, b)의 집합으로 간주될 수 있고, 여기서 x와 y는 픽셀의 스크린 좌표이며, h, s와 b는 빛깔, 채도, 휘도이다. ....
n차원 유클리드 공간이란, 뎃셈, 스칼라곱, 유클리드 내적의 연산을 만족하는 R^n을 뜻한다. R^n의 벡터의 합이나 스칼라곱이 지니고 있는 가장 중요한 연산은 다음과 같다.
a. u + v = v + u
b. u + (v + w) = (u + v) + w
c. u + 0 = 0 + u = 0
d. u + (-u) = 0, 즉 u - u = 0
e. k(mu) = (km)u
f. k(u + v) = ku + kv
g. (k + m)u = ku + mu
h. 1u = u
유클리드 내적(Euclidian inner product)은 다음과 같다.
u = (u1, u2, u3, ..., un), v = (v1, v2, v3, ..., vn)을 R^n에서의 임의의 두 벡터라 할 때
u · v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + ... + unvn
유클리드 내적이 가지고 있는 중요한 성질은 다음과 같다.
a. u · v = v · u
b. (u + v) · w = u · w + v · w
c. (ku) · v = k(u · v)
d. v · v ≥ 0, 또한 v · v = 0이기 위한 필요충분 조건은 v = 0이다.
Reference
Howard Anton, Elementary Linear Algebra 9th Edition, Pearson Education